Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.1/10

Droites du plan

Par deux points distincts A et B, il passe une seule droite, la droite (AB) :

(1)	Si deux droites ont deux points communs distincts, alors elles sont confondues.

(2)	Si trois points distincts sont alignés, alors chacun d'eux appartient à la droite qui passe par les deux autres

Autrement dit, si A, B et C sont 3 points alignés, alors,,

Inégalité triangulaire :

(3)	Quels que soient les points A, B et M on a l'inégalité

En particulier :

(4)	Si on a l'égalité , alors le point C appartient au segment [AB]

(4')	Si trois points distincts A, B et C sont alignés dans cet ordre, alors

Deux droites confondues sont parallèles, et, dans le plan (mais pas dans l'espace), deux droites sont sécantes en un point ou bien parallèles.

(5)	Si deux droites sont parallèles à une même troisième,

alors elles sont parallèles (entre elles).

(6)	Si deux droites sont parallèles et possèdent un point commun,

alors elles sont confondues.

(7)	Si deux droites (du plan) sont perpendiculaires à une même troisième,

alors elles sont parallèles (entre elles).

(8)	(Dans le plan) Si deux droites sont parallèles, et si une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre.

Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est l'un de ses deux axes de symétrie.

(1)	Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu, alors c'est la médiatrice de ce segment.

(1')	Si une droite est la médiatrice d'un segment, alors c'est la perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu .

(2)	Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant* des extrémités de ce segment.	(*équidistant = à égale distance)

(2')	Si un point est équidistant de deux points donnés, alors il appartient à la médiatrice du segment qui a ces deux points comme extrémités.

Bissectrice d'un angle

(1)	Si une demi-droite partage un angle en deux angles adjacents de même mesure, alors c'est la bissectrice de cet angle.

(1')	Si une demi-droite est la bissectrice d'un angle, alors elle le partage en deux angles égaux .

(2)	Si un point appartient à la bissectrice d'un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet angle.

(2')	Si un point est équidistant des deux côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.

Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.2/10

Hauteurs d'un triangle

(1)	Si une droite est la perpendiculaire à un des côtés d'un triangle qui passe par le sommet opposé, alors c'est la hauteur de ce triangle issue de ce sommet (ou la hauteur relative à ce côté).

(1')	Si une droite est la hauteur issue d'un sommet d'un triangle, alors c'est la perpendiculaire au côté opposé qui passe par ce sommet.

(1")	Si une droite est la hauteur relative à l'un des côtés d'un triangle, alors c'est la perpendiculaire à ce côté qui passe par le sommet opposé.

(2)	Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes.

(Des droites sont concourantes quand elles n'ont qu'un point commun.)

(Le point de concours des hauteurs s'appelle l'orthocentre du triangle.)

(3)	Si une droite passe par l'orthocentre et un sommet d'un triangle, alors c'est la hauteur du triangle issue de ce sommet.

à noter :	Une hauteur peut aussi désigner une longueur : celle du segment qui joint un sommet au pied de la perpendiculaire au côté opposé qui passe par ce sommet.

Médianes d'un triangle

(1)	Si une droite passe par un sommet d'un triangle et le milieu du côté opposé, alors c'est la médiane de ce triangle issue de ce sommet (ou relative à ce côté).

(1')	Si une droite est la médiane issue d'un sommet d'un triangle, alors elle passe par le milieu du côté opposé.

(1")	Si une droite est la médiane relative à l'un des côtés d'un triangle, alors c'est la droite qui passe par le milieu de ce côté et par le sommet opposé.

(2)	Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes. Leur point de concours est le centre de gravité du triangle, et il est situé au 2/3 de chaque médiane* en partant du sommet.

(3)	Si une droite passe par le centre de gravité et un sommet d'un triangle, alors c'est la médiane du triangle issue de ce sommet.

à noter :	Une médiane* peut aussi désigner une longueur : celle du segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.

Médiatrices d'un triangle

à noter :	Une médiatrice désigne toujours une droite, et la médiatrice d'un segment. Les trois médiatrices d'un triangle sont les médiatrices des segments joignant les sommets. Il n'y a pas de définition particulière, et on peut utiliser les propriétés de la médiatrice d'un segment.

(1)	Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes. Leur point de concours est le centre d'un cercle qui passe par les trois sommets du triangle : le cercle circonscrit au triangle.

(2)	Si un point est le centre du cercle circonscrit à un triangle, alors c'est le point de concours de ses médiatrices et il est équidistant des trois sommets du triangle.

(3)	Si une droite passe par le centre du cercle circonscrit à un triangle, et si elle est perpendiculaire à l'un des côtés de ce triangle, alors c'est une des médiatrices du triangle.

Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.3/10

Bissectrices d'un triangle

à noter :	Les trois bissectrices d'un triangle sont les bissectrices des angles du triangle. Il n'y a pas de définition particulière. (Voir les propriétés de la bissectrice d'un angle.)

(1)	Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes. Leur point de concours est le centre d'un cercle qui est tangent aux trois côtés du triangle : le cercle inscrit dans le triangle.

(2)	Si un point est le centre du cercle inscrit dans un triangle, alors c'est le point de concours de ses bissectrices et il est équidistant des trois côtés du triangle.

(3)	Si une droite passe par un sommet et le centre du cercle inscrit dans un triangle, alors c'est une bissectrice de ce triangle.

Parallélogramme

(1)	Si un quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux parallèles, alors c'est un parallélogramme.

(1')	Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :

(2)	il a un centre de symétrie, le point d'intersection de ses diagonales,

(3)	ses côtés opposés ont la même longueur,

(4)	ses diagonales ont le même milieu,

(5)	ses angles opposés sont égaux,

(6)	deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme mesure 180°).

Rectangle

(1)	Si un quadrilatère a trois* angles droits, alors c'est un rectangle. (*3 suffisent)

(1')	Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses quatre angles sont droits.

(2)	Si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un parallélogramme (particulier).

Il a donc toutes les propriétés d'un parallélogramme.

+	Si un quadrilatère est un rectangle, alors

(3)	ses diagonales ont la même longueur,

(4)	ses médianes sont des axes de symétrie.

Losange

(1)	Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange.

(1')	Si un quadrilatère est un losange, alors ses quatre côtés ont la même longueur.

(2)	Si un quadrilatère est un losange, alors c'est un parallélogramme (particulier).

Il a donc toutes les propriétés d'un parallélogramme.

+	Si un quadrilatère est un losange, alors

(3)	ses diagonales sont perpendiculaires,

(4)	ses diagonales sont des axes de symétrie.

Carré

Un carré est à la fois un parallélogramme, un rectangle et un losange.

Il a toutes les propriétés de ces quadrilatères.

à noter :	Un carré peut aussi désigner un nombre : le produit de ce nombre par lui-même

Exemple : Le carré de 7 est 72=7×7=49 (ne pas le confondre avec 14 qui est le double de 7)

Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.4/10

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

(1)	Si un quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux parallèles, alors c'est un parallélogramme.

(2)	Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme.

(3)	Si un quadrilatère est l'image d'un parallélogramme par une symétrie axiale (par une symétrie centrale, par une rotation ou par une translation), alors c'est un parallélogramme.

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle

(1)	Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c'est un rectangle.

(2)	Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont à la fois le même milieu et la même longueur, alors c'est un rectangle.

(3)	Si un parallélogramme a ses diagonales qui ont la même longueur, alors c'est un rectangle.

(4)	Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.

(5)	Si un quadrilatère est l'image d'un rectangle par une symétrie axiale (une symétrie centrale, une rotation ou une translation), alors c'est un rectangle.

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un losange

(1)	Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange.

(2)	Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et sont perpendiculaires alors c'est un losange.

(3)	Si un parallélogramme a ses diagonales qui sont perpendiculaires, alors c'est un losange.

(4)	Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.

(5)	Si un quadrilatère est l'image d'un losange par une symétrie axiale (une symétrie centrale, une rotation ou une translation), alors c'est un losange.

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un carré

(1)	Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors c'est un carré.

(2)	Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires alors c'est un carré.

(3)	Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré.

(4)	Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un carré.

(5)	Si un quadrilatère est l'image d'un carré par une symétrie axiale (une symétrie centrale, une rotation ou une translation), alors c'est un carré.

Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.5/10

Droite des milieux

(1)	Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.

(2)	Si un segment joint les milieux de deux côtés d'un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié du troisième côté du triangle.

réciproque

(1')	Si une droite est parallèle à l'un des côtés d'un triangle, et si elle passe par le milieu d'un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

A B C M N (MN) // (BC) Théorème de Thalès

Si une droite est parallèle à l'un des côtés d'un triangle, alors les longueurs des côtés des deux triangles obtenus sont proportionnelles.

Autrement dit,

Si on sait qu'une droite est parallèle au côté (BC) d'un triangle ABC

et que cette droite coupe les côtés (AB) et (AC) du triangle en M et N,

alors, d'après le théorème de Thalès, on a les trois égalités :

à noter :

1°)	cette propriété permet de calculer la longueur d'un côté d'un des deux triangles quand on sait que deux triangles ont un sommet commun et des côtés parallèles, et qu'on connaît au moins la longueur de trois des six côtés de ces triangles afin d'exploiter l'une des trois égalités.

2°)	cette propriété permet aussi de prouver que deux droites ne sont pas parallèles, en montrant qu'on n'a pas l'une des trois égalités et en raisonnant par l'absurde.

Réciproque du théorème de Thalès

O	Si on sait que deux droites (AB) et (CD) sont sécantes en un point O,

C A	si on sait que les points O, A et B sont alignés dans le même ordre que les points O, C et D,

D	et si on sait qu'on a l'égalité ,

B	alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut affirmer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

à noter :	il faut bien vérifier chacune des trois conditions, et en particulier montrer qu'on a l'égalité souhaitée en effectuant deux calculs séparés avant d'appliquer cette réciproque.

Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.6/10

carré de l'hypoténuse carré du côté AB carré du côté AC A B C Triangle rectangle

(1)	Si un triangle est rectangle, alors le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse de ce triangle, et c'est le plus grand côté.

(2)	Théorème de Pythagore :

Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Exemple :	On sait que le triangle ABC est rectangle en A.

Donc, d'après le théorème de Pythagore,

(3)	Relations trigonométriques :

angle aigu choisi B hypoténuse Côté opposé à l'angle B côté adjacent à l'angle B C A = côté opposé à B BC AC = côté adjacent à B côté opposé à B BA AC = hypoténuse côté adjacent à B BC BA hypoténuse Si un triangle est rectangle, alors par définition, le cosinus d'un angle aigu de ce triangle est le quotient (de la longueur) du côté adjacent à cet angle par (la longueur de) l'hypoténuse.

Si un triangle est rectangle, alors par définition, le sinus d'un angle aigu de ce triangle est le quotient (de la longueur) du côté opposé à cet angle par (la longueur de) l'hypoténuse.

Si un triangle est rectangle, alors par définition, la tangente d'un angle aigu de ce triangle est le quotient (de la longueur) du côté opposé à cet angle par (la longueur du) côté adjacent.

Attention, sauf cas particulier, connaître ces nombres ne permet que d'obtenir une valeur approchée de la mesure d'un angle.

S O A B	(4)	Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse (et le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit)

(5)	Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.7/10

A O P B O est le centre du cercle Pour démontrer qu'un triangle est rectangle

T	(1)	Si un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre et un point d'un cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point.

E P S E, P et S sont alignés	(2)	Si la médiane issue d'un sommet d'un triangle a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet.

(3)	Réciproque du théorème de Pythagore

A2=AB2 A B C A1=BC2 A3=AC2 On sait que A1=A2+A3	Si le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est son hypoténuse.

Exemple : AB=4 cm ; AC=4,2 cm et BC=5,8 cm

Pour montrer que le triangle ABC est rectangle,

on commence par calculer séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres pour montrer qu'on a l'égalité avant d'utiliser la réciproque.

Le plus grand côté est [BC] et	BC2=5,82=33,64 cm2

AB2+AC2=42+4,22=16+17,64=33,64 cm2

Donc, on a BC2=AB2+AC2

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

On peut utiliser le théorème de Pythagore et raisonner par l'absurde.

Exemple :	On donne AB=5 cm ; AC=7,8 cm et BC=6 cm

Le triangle ABC est-il rectangle ?

Réponse :

Le plus grand côté est [AC] et	AC2=7,82=60,84 cm2

AB2+BC2=52+62=25+36=61 cm2

Donc, on a BC2'AB2+AC2

Si le triangle ABC était rectangle, d'après le théorème de Pythagore, on aurait l'égalité BC2=AB2+AC2.

On n'a pas cette égalité, donc le triangle ABC n'est pas rectangle.

Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.8/10

x y ? B C A Angles

(1)	La somme des angles d'un triangle est égale à 180°

(2)	Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.

(3)	Si deux droites sont parallèles, alors elles forment avec une sécante des angles correspondants égaux.

(3')	Si deux droites forment avec une sécante des angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles.

(4)	Si deux droites sont parallèles, alors elles forment avec une sécante des angles alternes internes égaux.

T S A B ? x	(4')	Si deux droites forment avec une sécante des angles alternes internes égaux, alors elles sont parallèles.

(5)	Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils sont égaux.

D E F O O est le centre du cercle x ?

(6)	Si un angle est inscrit dans un cercle, alors la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc est égale au double de la mesure de cet angle inscrit.

Distance d'un point à une droite

(d) H A	Si A est un point donné et (d) une droite donnée, alors la distance du point A à la droite (d) est la longueur du segment [AH] qui a pour extrémités le point A et le pied H de la perpendiculaire à la droite (d) qui passe par le point A

Tangentes à un cercle

A O est le centre du cercle O (d)	(1)	Si une droite est perpendiculaire à un rayon (ou à un diamètre) d'un cercle en un point de ce cercle, alors c'est la tangente en ce point à ce cercle.

(1')	Si une droite est tangente en un point à un cercle, alors elle est perpendiculaire au rayon (ou au diamètre) du cercle qui a ce point comme extrémité.

Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.9/10

Transformations du plan

(1)	Si deux points A et B sont symétriques par rapport à une droite (d), alors cette droite (d) est la médiatrice du segment [AB] qui a pour extrémités ces deux points.

(1')	Si une droite (z) est la médiatrice d'un segment [MN], alors les extrémités M et N de ce segment sont symétriques par rapport à cette droite (z).

(2)	Si deux points A et B sont symétriques par rapport à un point C, alors le point C est le milieu du segment [AB] qui a pour extrémités ces deux points.

(2')	Si un point O est le milieu d'un segment [AB], alors les extrémités A et B de ce segment sont symétriques par rapport à ce point O.

(3)	Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles.

(4)	Si A et B sont deux points donnés, et si les segments [AN] et [BM] ont le même milieu, alors N est l'image du point M par la translation qui transforme A en B.

(4')	Si un point F est l'image d'un point E par la translation qui transforme un point A en un point B, alors les segments [AN] et [BM] ont le même milieu.

(5)	Si une translation transforme un point A en un point B, alors cette translation est appelée translation de vecteur .

(5')	Si A et B sont deux points donnés, alors la translation de vecteur tranforme A en B.

(6)	Si une droite (d') est l'image d'une droite (d) par une translation, alors ces deux droites sont parallèles.

(7)	Si O et A sont des points donnés, si a est une mesure géométrique donnée d'un angle, et si on définit un sens de rotation (par exemple le sens inverse des aiguilles d'une montre), alors le point B du cercle de centre O qui passe par A tel qu'on passe de A à B en suivant le sens de rotation indiqué et que AOB=a est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle a dans le sens de rotation indiqué.

(7')	Si un point P est l'image d'un point M par une rotation de centre O et d'angle a dans un sens de rotation donné, alors OP=OM , MOP=a et on passe de M à P en suivant le sens de rotation indiqué.

(8)	Si trois points sont alignés, alors leurs images par une symétrie axiale (une symétrie centrale, une rotation ou une translation) sont alignés.

(On dit que ces transformations conservent l'alignement. Et par conséquent, l'image d'une droite est une droite).

(9)	Si A' et B' sont les images de deux points A et B par une symétrie axiale (une symétrie centrale, une rotation ou une translation), alors les segments [A'B'] et [AB] ont la même longueur. (On dit que ces transformations conservent les distances. Par conséquent, l'image d'un cercle est un cercle de même rayon).

(10)	Si A', B' et C' sont les images de trois points A, B et C par une symétrie axiale (une symétrie centrale, une rotation ou une translation), alors les angles A'B'C' et ABC sont égaux. (On dit que ces transformations conservent les angles)

Propriétés de géométrie - Maths 3e - p.10/10

Vecteurs

A B C D	(1)	Si ABDC est un parallélogramme, alors et désignent le même vecteur :

(1')	Si deux vecteurs et sont égaux, alors ABDC est un parallélogramme.

(2)	Si =, alors =

B

C A	(3)	Si A, B et C sont des points quelconques, alors, par définition de la somme de deux vecteurs, (propriété de Chasles)

Fiches Résumé des propriétés à connaître

2005-09-15T09:49:29