Puissances d'un nombre Maths 3e

Une puissance d’un nombre non nul x est un nombre y qui peut s’écrire sous la forme =ou= où n désigne un entier naturel.

•	Si x est un nombre non nul, et si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, est le produit de n facteurs égaux à x	•	Si x est un nombre non nul,=et = •	Si x est un nombre non nul, et si n est un entier naturel supérieur à 0 est l'inverse de Par définition

Exemples	== = = ===

Contre-exemple =; = doncet 20 n'est pas une puissance de 2

Signe	Attention au signe d'une puissance : le signe d'une puissance ne dépend pas du signe de l'exposant. Pour qu'une puissance d'un nombre soit négative, il faut à la fois que le nombre soit négatif et que l'exposant soit impair.

Sont positifs	;;;;;;;

Sont négatifs	;;;

N.B. désigne l'opposé dedonc, , sont négatifs.

(cas particulier des puissances d'un nombre) Les puissances de 10

Un centième Un millionième Un million Mille Cent Un milliardième Un millième Un dixième Dix Un À savoir par cœur Un milliard

À retenir	•	Si n est un entier naturel, alorss'écrit avec un 1 suivi de n zéros

•	Si n est un entier naturel, alorsest un nombre positif qui s'écrit

avec n décimales (c'est à dire n chiffres après la virgule)

Les préfixes

préfixe	n nano	µ micro	m milli	c centi	d déci		da déca	h hecto	k kilo	M méga	G giga
facteur de l'unité	×	×	×	×	×		×	×	×	×	×

Autres :	× a « atto » ; × f « femto » ; × p « pico »

× T « téra » ; × P « peta » ; × E « exa »

Exemples	« 400 milliampères »	400mA = 400×A = 400×0,001A = 0,400A = 0,4A

« 2,5 mégawatts »	2,5MW = 2,5×W = 2,5×1000000W = 2500000W

La notation scientifique

Cette écriture concerne les nombres décimaux (positifs ou négatifs, entiers ou non) sauf 0. On ne peut pas l'utiliser pour écrire un nombre non décimal ni pour 0.

Utiliser la notation scientifique pour écrire un nombre décimal A strictement positif, c'est écrire A sous la forme où	d est un nombre décimal compris entre 1 et 10	n est un entier relatif

Exemples	= = = =

Contre-exemples	n'est pas une écriture scientifique : 32 n'est pas inférieur à 10

n'est pas l'écriture scientifique de mais celle de

La calculatrice

•	Il faut faire très attention à l'affichage sur l'écran. Quand une calculatrice affiche ou ou ou sur son écran, il ne faut surtout pas lire « 3 exposant 12 » mais bien c'est à dire

á ^	•	Pour calculer on utilise la touche “puissance” : ou ouou

5 9 ON ^	et on tape La calculatrice affiche 59049.

•	Pour calculer = il est préférable de calculer , le calcul direct de ne permettant pas toujours d'obtenir la valeur exacte du résultat.

•	Pour saisir on utilise la touche “fois 10 exposant x” : ou Exp ou EE

. ON 5 2 3	on tape La calculatrice affiche 320000.

Conduite des calculs

Dans une suite de calculs, I.	On écrit de nouveau et à la même place les calculs non faits, II.	on effectue dans l'ordre de priorité :	1°)	un calcul entre parenthèses (ou un calcul assimilé par son écriture qui	remplace des parenthèses comme les barres de fraction)	2°)	un calcul d'une puissance (carré, cube, ...)	3°)	une division ou une multiplication	4°)	une soustraction ou une addition. III.	En l'absence de priorité, on effectue les calculs dans l'ordre d'écriture.

Exemples	A	=	B	=	C	=

=	=	=

=	=	=

=	=	=

=	=	=

Opérations sur les puissances d'un nombre

Avant d'utiliser une propriété des puissances, il convient d'être très prudent : en effet, il faut souvent se contenter d'appliquer la définition d'une puissance et suivre les règles générales de conduite des calculs.

Dans ce qui suit,	a et b désignent des nombres non nuls,

m et n désignent des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nuls)

		propriété		Exemples
Somme		AUCUNE !		
Différence		AUCUNE !		
Produit de deux puissances d'un même nombre				
Quotient de deux puissances d'un même nonbre				
Puissance d'un produit				
Puissance d'un quotient				;
Puissance d'une puissance				

Utilise la définition des puissances d'un nombre a)	pour calculer toutes les puissances de 2 dont l'exposant est un entier relatif compris entre et b)	pour calculer , , et ; , , et c)	pour citer, si possible, quatre puissances de 5 comprises entre 0 et 5 d)	pour montrer que 12 n'est pas une puissance de 6 e)	pour montrer que est positif, et que est négatif f)	pour montrer que (sans faire les calculs !) g)	pour montrer que (sans faire les calculs !) h)	pour montrer que (sans faire les calculs !) Exercice 1

Utilise ta calculatrice (la touche “puissance” sera notée ^ , la touche “fois 10 exposant x” sera notée , la touche “fraction” sera notée / et la touche “entrée” sera notée ¿ même si ce n'est pas le cas sur ton modèle) a)	Tape ON ( 3 / 4 ) ^ 2 ¿ Affiche-t-elle 9/16 ou 0.5625 ? Essaie d'appuyer sur la touche / pour basculer d'un affichage à l'autre et explique pourquoi les deux réponses sont bonnes. b)	Tape ON ( 4 / 3 ) ^ 2 ¿ Affiche-t-elle 16/9 , 1+7/9 ou 1.777... ? Essaie d'appuyer sur les deux touches / pour les obtenir, et explique pourquoi l'une des réponses n'est pas bonne. c)	Quelles séquences peux-tu taper pour lui faire calculer ? (Elle doit afficher 0.125 ou 1/8 ) d)	Peux-tu lui faire calculer et lui faire afficher 1/243 ? Sinon quel calcul de remplacement seras-tu obligé de lui demander pour avoir la bonne réponse ? e)	Quelles séquences tapes-tu pour lui faire calculer et ? Dans quel cas dois-tu obligatoirement placer des parenthèses, et pourquoi ? (Tu dois trouver 90 et 150) Exercice 2

Utilise la notation scientifique pour écrire chacun des nombres décimaux suivants : ; ; ; ; ; ; ; ;	; ; ; Exercice 3

Utilise les règles générales de conduite des calculs pour calculer : A= B= C= D= Exercice 4

Calcule P= en remarquant qu'il n'y a ni addition ni soustraction à effectuer. Montre que P est un nombre décimal et utilise la notation scientifique.

Exercice 5

Une balle élastique rebondit aux trois quarts de sa hauteur initiale quand on la laisse tomber sur le sol (sans la lancer). a)	Vérifie que si on laisse tomber cette balle d'une hauteur de 1,60m elle remonte à 67,5cm après son 3ème rebond. b)	Exprime la hauteur obtenue y en fonction de la hauteur initiale x et du nombre n de rebonds. c)	De quelle hauteur initiale (minimale) faudrait-il la laisser tomber pour qu'elle atteigne encore un peu plus de 50cm après son 10ème rebond ? Exercice 6

Puissances

Puissances : chapitre complet avec exercices

2007-08-24T23:37:20